正規分布　モーメント　３次モーメント　４次モーメント　５次モーメント

正規分布のモーメント母関数は、

$E(t)=e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}$

ですね。（ｔは助変数theta（意味を持たない変数）、ｓはsigma、ｍはmeanの意味）

１回ｔで微分すると、

$E'(t)=(s^2\,t+m)\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}$

２回ｔで微分すると、

$E''(t)=(s^2\,t+m)^2\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t} + s^2 e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}$

３回ｔで微分すると、

$E'''(t)=(s^2\,t+m)^3\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t} + 3s^2 (s^2\,t+m)e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}$

４回ｔで微分すると、

$E''''(t)=(s^2\,t+m)^4\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}+6s^2\,(s^2\,t+m)^2\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t} +3s^4\,e^{{{s^2\,t^2}\over{2}}+m\,t}$

これで４次モーメントまで求めることができます。

$E'(0)=EX=m$

$E''(0)=EX^2=s^2+m^2$

$E'''(0)=EX^3=3ms^2+m^3$

$E''''(0)=EX^4=3s^4+6m^2\,s^2+m^4$